% Created 2011-10-27 do 16:51
\documentclass[a4paper, 12pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{fixltx2e}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{longtable}
\usepackage{float}
\usepackage{wrapfig}
\usepackage{soul}
\usepackage{textcomp}
%\usepackage{marvosym}
%\usepackage{wasysym}
%\usepackage{latexsym}
%\usepackage{amssymb}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{hyperref}
\usepackage[framed,numbered]{mcode}
\usepackage{placeins}
\usepackage{slashbox}
\usepackage{pict2e}
\usepackage{subfig}
%\usepackage{cmbright}
\usepackage[dutch]{babel}
\usepackage[a4paper,margin=2.5cm]{geometry}
 \hyphenpenalty=5000
\tolerance=1000
\providecommand{\alert}[1]{\textbf{#1}}
\newfloat{MATLAB code}{h}{}
\usepackage{tikz,pgfplots}

\pgfplotsset{compat=newest}
\pgfplotsset{plot coordinates/math parser=false}

\title{Deterministische en Stochastische Integratietechnieken: Oefenzitting 1}
\author{Roel Matthysen \\ s0202264 \\ 1e Master Wiskundige Ingenieurstechnieken}
\date{\today}

\newlength\figureheight
\newlength\figurewidth
\setlength\figureheight{2cm}
\setlength\figurewidth{12cm}


\begin{document}

\maketitle

\section{Opgave 1}
In dit deel van de opgave worden de verschillende tekstfuncties geplot, en wordt een analytische uitdrukking voor de exacte waarde van de integraal voor de testfuncties gegeven.
\begin{eqnarray*}
f_1(x)=x^{20}, &\int^1_{-1}{f_1(x)} &= \frac{2}{21}\\
f_2(x)=\mathrm{e}^{x}, &\int^1_{-1}{f_2(x)} &= \mathrm{e}-\frac{1}{\mathrm{e}}\\
f_3(x)=\mathrm{e}^{- x^2}, &\int^1_{-1}{f_3(x)} &= \sqrt{\pi}*erf(1)\\
f_4(x)=\frac{1}{16\, x^2 + 1}, &\int^1_{-1}{f_4(x)} &= \frac{\tan^{-1}(4)}{2}\\
f_5(x)=\mathrm{e}^{-\frac{1}{x^2}}, &\int^1_{-1}{f_5(x)} &= \frac{2}{\mathrm{e}}-2\sqrt{\pi}*erfc(1)\\
f_6(x)={\left|x\right|}^3, &\int^1_{-1}{f_6(x)} &=0.5
\end{eqnarray*}

\begin{figure}[htp]
\centering
\includegraphics{img/opgave1.eps}
\caption{De verschillende testfuncties}
\label{}
\end{figure}

\section{Opgaves 2 en 3}
In dit deel van de opgave worden Gauss kwadratuur, Clenshaw-Curtis en Romberg integratie besproken. Figuur 2 toont het verloop van de relatieve fout voor de drie methodes voor verschillende testfuncties, in functie van het aantal genomen punten. Het gedrag is hetzelfde als in de paper. Tabel 1 toont het vereiste aantal functie-evaluaties per methode om 7 juiste cijfers te verkrijgen op het resultaat. Het is duidelijk dat Romberg integratie veel meer functie-evaluaties nodig heeft, omdat deze gebruikt maakt van equidistante punten.
\begin{figure}[htp]
\centering
\includegraphics{img/opgave2.eps}
\caption{De relatieve fout in functie van het gebruikte aantal punten. De y-as geeft de exponent van 10 aan.}
\label{}
\end{figure}
\begin{table}[htp]
\centering
\begin{tabular}{l|llllll}
\backslashbox{$methode$}{$functie$}& $f_1$ & $f_2$ & $f_3$ & $f_4$ & $f_5$ & $f_6$ \\
\hline
Gauss & 11 & 5 & 7 & 34 & 35 & 74\\ 
Clenshaw-Curtis & 19 & 7 & 10 & 36 & 32 & 76\\ 
Romberg & 65536 & 4096 & 4096 & 2048 & 16384 & 16384
\end{tabular}
\label{tab:euler_imptab}
\caption{Het vereiste aantal functie-evaluaties om 7 juiste cijfers te verkrijgen}
\end{table}
\section{Opgave4}
In dit deel opgave werd gevraagd om bij de Romberg methode telkens het laatste element op de diagonaal en het element links daarvan weer te geven. In figuur 3 wordt de fout op deze twee elementen berekenen voor oplopend aantal punten (telkens een macht van 2). Het convergentiegedrag is voor de 2 elementen over de verschillende testfuncties heen quasi identiek.
\begin{figure}[htp]
\centering
\includegraphics{img/opgave4.eps}
\caption{}
\label{}
\end{figure}
\section*{Appendix: Matlab code voor Romberg integratie}
\begin{MATLAB code}
\lstinputlisting{../romberg.m}
\caption{de expliciete Euler methode}
\end{MATLAB code}
\end{document}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: